Задача №1218

Сперва выясним, будет ли заданная функция определена и непрерывна на промежутке \(X=[1;+\infty)\). Так как функция \(\arctg{x}\) определена и непрерывна при \(x\in{R}\), то рассмотрим \(\arcsin\frac{2x}{1+x^2}\) при \(x\ge{1}\). Данная функция будет непрерывна при условии \(-1\le\frac{2x}{1+x^2}\le{1}\).

При \(x\ge{1}\) имеем \(\frac{2x}{1+x^2}\gt{0}\), т.е. неравенство \(\frac{2x}{1+x^2}\ge{-1}\) истинно. Докажем вторую часть неравенства, т.е. \(\frac{2x}{1+x^2}\le{1}\).

Равенство \(\frac{2x}{1+x^2}=1\) будет достигнуто лишь при \(x=1\). Итак, если \(x\ge{1}\), то \(0\lt\frac{2x}{1+x^2}\le{1}\), т.е. функция \(\arcsin\frac{2x}{1+x^2}\), а следовательно и исходная функция \(y(x)\), будет определена и непрерывна на промежутке \(X\).

Дифференцируем функцию \(y(x)\) ''внутри'' промежутка \(X\), т.е. при \(x\gt{1}\):

Так как \(y'=0\) при \(x\in(1;+\infty)\), то функция \(y(x)\) есть константа при \(x\in{X}\), т.е. \(y(x)=C\) при любых значениях \(x\in{X}\). Для нахождения значения \(C\) достаточно определить значение \(y(x)\) в произвольной точке множества \(X\).

Полагая, например, \(x=1\), получим:

Разумеется, мы могли бы взять и иное значение аргумента: например, принять \(x=\sqrt{3}\). Результат, конечно же, не изменится.