1264-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1264 параграфа №2 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что функция [math]y=2\arctg{x}+\arcsin\frac{2x}{1+x^2}[/math] есть константа при [math]x\ge{1}[/math]. Найти значение этой константы.

Решение

Сперва выясним, будет ли заданная функция определена и непрерывна на промежутке [math]X=[1;+\infty)[/math]. Так как функция [math]\arctg{x}[/math] определена и непрерывна при [math]x\in{R}[/math], то рассмотрим [math]\arcsin\frac{2x}{1+x^2}[/math] при [math]x\ge{1}[/math]. Данная функция будет непрерывна при условии [math]-1\le\frac{2x}{1+x^2}\le{1}[/math].

При [math]x\ge{1}[/math] имеем [math]\frac{2x}{1+x^2}\gt{0}[/math], т.е. неравенство [math]\frac{2x}{1+x^2}\ge{-1}[/math] истинно. Докажем вторую часть неравенства, т.е. [math]\frac{2x}{1+x^2}\le{1}[/math].

[dmath] x\ge{1}\;\Leftrightarrow\;x-1\ge{0}\;\Rightarrow\;(x-1)^2\ge{0}\;\Leftrightarrow\;{x^2-2x+1\ge{0}}\;\Leftrightarrow\;\frac{2x}{1+x^2}\le{1}. [/dmath]

Равенство [math]\frac{2x}{1+x^2}=1[/math] будет достигнуто лишь при [math]x=1[/math]. Итак, если [math]x\ge{1}[/math], то [math]0\lt\frac{2x}{1+x^2}\le{1}[/math], т.е. функция [math]\arcsin\frac{2x}{1+x^2}[/math], а следовательно и исходная функция [math]y(x)[/math], будет определена и непрерывна на промежутке [math]X[/math].

Дифференцируем функцию [math]y(x)[/math] внутри промежутка [math]X[/math], т.е. при [math]x\gt{1}[/math]:

[math] y' =\frac{2}{1+x^2}+\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2}}\cdot{2}\cdot\frac{1+x^2-x\cdot{2x}}{\left(1+x^2\right)^2} =\frac{2}{1+x^2}+2\cdot\frac{1+x^2}{\sqrt{\left(1+x^2\right)^2-4x^2}}\cdot\frac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}=\\ =\frac{2}{1+x^2}+2\cdot\frac{1}{\sqrt{x^4-2x^2+1}}\cdot\frac{1-x^2}{1+x^2} =\frac{2}{1+x^2}+2\cdot\frac{1}{\sqrt{\left(x^2-1\right)^2}}\cdot\frac{1-x^2}{1+x^2} =\frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+x^2} =0. [/math]

Так как [math]y'=0[/math] при [math]x\in(1;+\infty)[/math], то функция [math]y(x)[/math] есть константа при [math]x\in{X}[/math], т.е. [math]y(x)=C[/math] при любых значениях [math]x\in{X}[/math]. Для нахождения значения [math]C[/math] достаточно определить значение [math]y(x)[/math] в произвольной точке множества [math]X[/math].

Полагая, например, [math]x=1[/math], получим:

[dmath] y(1)=2\arctg{1}+\arcsin{1}=\pi. [/dmath]

Разумеется, мы могли бы взять и иное значение аргумента: например, принять [math]x=\sqrt{3}[/math]. Результат, конечно же, не изменится.

Ответ

Искомая константа равна [math]\pi[/math].