1205-1

Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1205 параграфа №2 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать справедливость неравенства [math]\sin{x}\lt{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}}[/math] ([math]x\gt{0}[/math]).

Решение

Рассмотрим функцию [math]f(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\sin{x}[/math].

[dmath] \begin{aligned} & f'(x) = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cos{x};\\ & f''(x) = -x + \frac{x^3}{6} + \sin{x};\\ & f'''(x) = -1 + \frac{x^2}{2} + \cos{x};\\ & f^{(4)}(x) = x-\sin{x}. \end{aligned} [/dmath]

При [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]x\gt\sin{x}[/math], посему [math]f^{(4)}(x)\gt{0}[/math].

Так как [math]f'''(0)=0[/math] и [math]f^{(4)}(x)\gt{0}[/math], то при [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]f'''(x)\gt{0}[/math].

Так как [math]f''(0)=0[/math] и [math]f'''(x)\gt{0}[/math], то при [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]f''(x)\gt{0}[/math].

Так как [math]f'(0)=0[/math] и [math]f''(x)\gt{0}[/math], то при [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]f'(x)\gt{0}[/math].

Так как [math]f(0)=0[/math] и [math]f'(x)\gt{0}[/math], то при [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]f(x)\gt{0}[/math].


Мы доказали, что [math]f(x)\gt{0}[/math], т.е. [math]\sin{x}\lt{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}}[/math].

Ответ

Неравенство доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).