Задача №2027
Условие
Найти \(y^{(n)}\), если \(y=x^2\sin{ax}\).
Решение
Случай \(a=0\) тривиален: \(y^{(n)}=0\).
Рассмотрим случай \(a\neq{0}\). Применим формулу Лейбница. В этой формуле будут лишь три ненулевых слагаемых, которые содержат \(x^2\), \(\left(x^2\right)'\) и \(\left(x^2\right)''\). При этом учтём и такую формулу:
\[
(\sin{ax})^{(n)}
=a^n\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)
\]
\[
y^{(n)}
=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\left(x^2\right)^{(k)}(\sin{ax})^{(n-k)}
=C_{n}^{0}\cdot{x^2}\cdot(\sin{ax})^{(n)}+C_{n}^{1}\cdot{2x}\cdot(\sin{ax})^{(n-1)}+2C_{n}^{2}\cdot(\sin{ax})^{(n-2)}=\\
=x^2\cdot{a^n}\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)+2nx\cdot{a^{n-1}}\sin\left(ax+\frac{\pi{(n-1)}}{2}\right)+n(n-1)\cdot{a^{n-2}}\sin\left(ax+\frac{\pi{(n-2)}}{2}\right)=\\
=a^{n-2}\cdot\left( \left(a^2x^2-n^2+n\right)\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)-2anx\cdot\cos\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)\right).
\]
Ответ:
\(a^{n-2}\cdot\left( \left(a^2x^2-n^2+n\right)\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)-2anx\cdot\cos\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)\right)\)