1200-1

Курс
Высшая математика
→ Узнать подробности
Онлайн-занятия
От создателя Решебника
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1200 параграфа №2 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать справедливость неравенства [math]x\gt\ln(x+1)[/math] ([math]x\gt{0}[/math]).

Решение

Рассмотрим функцию [math]f(x)=x-\ln(x+1)[/math].

[dmath] f'(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1} [/dmath]

Если [math]x\gt{0}[/math], то [math]f'(x)\gt{0}[/math], т.е. функция возрастает при [math]x\in[0;+\infty)[/math].

Согласно определению возрастающей функции, для любых значений [math]x_2\gt{x_1}[/math], принадлежащих промежутку [math][0;+\infty)[/math], верно неравенство [math]f(x_2)\gt{f(x_1)}[/math]. Это значит, что при любом [math]x\gt{0}[/math] выполнено неравенство [math]f(x)\gt{f(0)}[/math]. Так как [math]f(0)=0[/math], то неравенство [math]f(x)\gt{f(0)}[/math] примет вид [math]f(x)\gt{0}[/math].

В свою очередь, выполнение неравенства [math]f(x)\gt{0}[/math] и означает, что [math]x\gt\ln(x+1)[/math].

Ответ

Неравенство доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).