1199-1

Курс
Высшая математика
→ Узнать подробности
Онлайн-занятия
От создателя Решебника
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1199 параграфа №2 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Доказать справедливость неравенства [math]e^x\gt{1+x}[/math] ([math]x\neq{0}[/math]).

Решение

Рассмотрим функцию [math]f(x)=e^x-x-1[/math].

[dmath] f'(x)=e^x-1;\\ e^x-1=0;\;x=0. [/dmath]

Получили одну стационарную точку: [math]x=0[/math]. Это точка минимума, ибо при [math]x\lt{0}[/math] имеем [math]y'\lt{0}[/math], а при [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]y'\gt{0}[/math]. Кроме того, мы получили интервалы монотонности: при [math]x\in(-\infty;0][/math] функция убывает, а при [math]x\in[0;+\infty)[/math] – возрастает.

Согласно определению убывающей функции, для любых значений [math]x_2\gt{x_1}[/math], принадлежащих промежутку [math](-\infty;0][/math], верно неравенство [math]f(x_2)\lt{f(x_1)}[/math]. Это значит, что при любом [math]x\lt{0}[/math] выполнено неравенство [math]f(x)\gt{f(0)}[/math]. Так как [math]f(0)=0[/math], то неравенство [math]f(x)\gt{f(0)}[/math] примет вид [math]f(x)\gt{0}[/math].

Аналогично, исходя из возрастания функции на промежутке [math][0;+\infty)[/math], следует, что при [math]x\gt{0}[/math] имеем [math]f(x)\gt{f(0)}[/math], т.е. [math]f(x)\gt{0}[/math].

Таким образом, при всех [math]x\neq{0}[/math] верно неравенство [math]f(x)\gt{0}[/math], т.е. [math]e^x\gt{1+x}[/math].

Ответ

Неравенство доказано.

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).