Задача №1215

Рассмотрим функцию \(f(x)=e^x-x-1\).

Получили одну стационарную точку: \(x=0\). Это точка минимума, ибо при \(x\lt{0}\) имеем \(y'\lt{0}\), а при \(x\gt{0}\) имеем \(y'\gt{0}\). Кроме того, мы получили интервалы монотонности: при \(x\in(-\infty;0]\) функция убывает, а при \(x\in[0;+\infty)\) – возрастает.

Согласно определению убывающей функции, для любых значений \(x_2\gt{x_1}\), принадлежащих промежутку \((-\infty;0]\), верно неравенство \(f(x_2)\lt{f(x_1)}\). Это значит, что при любом \(x\lt{0}\) выполнено неравенство \(f(x)\gt{f(0)}\). Так как \(f(0)=0\), то неравенство \(f(x)\gt{f(0)}\) примет вид \(f(x)\gt{0}\).

Аналогично, исходя из возрастания функции на промежутке \([0;+\infty)\), следует, что при \(x\gt{0}\) имеем \(f(x)\gt{f(0)}\), т.е. \(f(x)\gt{0}\).

Таким образом, при всех \(x\neq{0}\) верно неравенство \(f(x)\gt{0}\), т.е. \(e^x\gt{1+x}\).