Задача №2026
Условие
Найти \(y^{(n)}\), если \(y=\sin^3{x}\).
Решение
Используем формулы \(\sin^3{x}=\frac{3}{4}\sin{x}-\frac{1}{4}\sin{3x}\) и \((\sin{ax})^{(n)}=a^n\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)\).
\[
y^{(n)}
=\frac{3}{4}\cdot\left(\sin{x}\right)^{(n)}-\frac{1}{4}\cdot\left(\sin{3x}\right)^{(n)}
=\frac{3}{4}\cdot\sin\left(x+\frac{\pi{n}}{2}\right)-\frac{3^n}{4}\cdot\sin\left(3x+\frac{\pi{n}}{2}\right)
\]
Ответ:
\(\frac{3}{4}\cdot\sin\left(x+\frac{\pi{n}}{2}\right)-\frac{3^n}{4}\cdot\sin\left(3x+\frac{\pi{n}}{2}\right)\)