1195-5

Информация о задаче

Задача №1195 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти [math]y^{(n)}[/math], если [math]y=\sin^3{x}[/math].

Решение

Используем формулы [math]\sin^3{x}=\frac{3}{4}\sin{x}-\frac{1}{4}\sin{3x}[/math] и [math](\sin{ax})^{(n)}=a^n\sin\left(ax+\frac{\pi{n}}{2}\right)[/math].

[math] y^{(n)} =\frac{3}{4}\cdot\left(\sin{x}\right)^{(n)}-\frac{1}{4}\cdot\left(\sin{3x}\right)^{(n)} =\frac{3}{4}\cdot\sin\left(x+\frac{\pi{n}}{2}\right)-\frac{3^n}{4}\cdot\sin\left(3x+\frac{\pi{n}}{2}\right) [/math]

Ответ

[math]\frac{3}{4}\cdot\sin\left(x+\frac{\pi{n}}{2}\right)-\frac{3^n}{4}\cdot\sin\left(3x+\frac{\pi{n}}{2}\right)[/math]