1192-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1192 параграфа №1 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти наибольшее и наименьшее значения функции [math]y=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{1-x}[/math], [math]a\gt{0}[/math], [math]b\gt{0}[/math] на интервале [math]0\lt{x}\lt{1}[/math].

Решение

Для начала отмечу, что заданная функция непрерывна на интервале [math]0\lt{x}\lt{1}[/math] при любых значениях параметров [math]a[/math] и [math]b[/math].

[math] y' =-\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{(1-x)^2} =\frac{b^2x^2-a^2(1-x)^2}{x^2\left(1-x\right)^2}=\\ =\frac{\left(bx-a(1-x)\right)\cdot\left(bx+a(1-x)\right)}{x^2\left(1-x\right)^2} =\frac{(a+b)\cdot\left(bx+a(1-x)\right)}{x^2\left(1-x\right)^2}\cdot\left(x-\frac{a}{a+b}\right) [/math]

Исходя условий [math]a\gt{0}[/math], [math]b\gt{0}[/math] и [math]0\lt{x}\lt{1}[/math] имеем, что [math]\frac{(a+b)\cdot\left(bx+a(1-x)\right)}{x^2\left(1-x\right)^2}\gt{0}[/math].

Следовательно, равенство [math]y'=0[/math] равносильно условию [math]x=\frac{a}{a+b}[/math], а знак [math]y'[/math] совпадает со знаком скобки [math]\left(x-\frac{a}{a+b}\right)[/math]. Отсюда следует, что при [math]0\lt{x}\lt\frac{a}{a+b}[/math] имеем [math]y'\lt{0}[/math], а при [math]\frac{a}{a+b}\lt{x}\lt{1}[/math] имеем [math]y'\gt{0}[/math].

Из вышеизложенного следует, что [math]x_{\min}=\frac{a}{a+b}[/math] – точка минимума.

[dmath] y_{\min} =y\left(\frac{a}{a+b}\right) =\frac{a^2}{\frac{a}{a+b}}+\frac{b^2}{1-\frac{a}{a+b}} =(a+b)^2 [/dmath]

Так как [math]\lim_{x\to{0+0}}y(x)=+\infty[/math] и [math]\lim_{x\to{1-0}}y(x)=+\infty[/math], то, соответственно, функция [math]y(x)[/math] является неограниченной (сверху), т.е. максимума она не имеет.

Ответ

Наименьшее значение равно [math](a+b)^2[/math]; наибольшего значения нет.