Задача №1210
Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{1-x}\), \(a\gt{0}\), \(b\gt{0}\) на интервале \(0\lt{x}\lt{1}\).
Для начала отмечу, что заданная функция непрерывна на интервале \(0\lt{x}\lt{1}\) при любых значениях параметров \(a\) и \(b\).
Исходя условий \(a\gt{0}\), \(b\gt{0}\) и \(0\lt{x}\lt{1}\) имеем, что \(\frac{(a+b)\cdot\left(bx+a(1-x)\right)}{x^2\left(1-x\right)^2}\gt{0}\).
Следовательно, равенство \(y'=0\) равносильно условию \(x=\frac{a}{a+b}\), а знак \(y'\) совпадает со знаком скобки \(\left(x-\frac{a}{a+b}\right)\). Отсюда следует, что при \(0\lt{x}\lt\frac{a}{a+b}\) имеем \(y'\lt{0}\), а при \(\frac{a}{a+b}\lt{x}\lt{1}\) имеем \(y'\gt{0}\).
Из вышеизложенного следует, что \(x_{\min}=\frac{a}{a+b}\) – точка минимума.
Так как \(\lim_{x\to{0+0}}y(x)=+\infty\) и \(\lim_{x\to{1-0}}y(x)=+\infty\), то, соответственно, функция \(y(x)\) является неограниченной (сверху), т.е. максимума она не имеет.
Наименьшее значение равно \((a+b)^2\); наибольшего значения нет.