1190-5
Информация о задаче
Задача №1190 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти [math]y^{(n)}[/math], если [math]y=\frac{1}{x^2-3x+2}[/math].
Решение
[dmath] y =\frac{1}{(x-1)(x-2)} =\frac{x-1-(x-2)}{(x-1)(x-2)} =\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}-\frac{x-2}{(x-1)(x-2)} =(x-2)^{-1}-(x-1)^{-1}. [/dmath]
[dmath] y^{(n)} =\left((x-2)^{-1}\right)^{(n)}-\left((x-1)^{-1}\right)^{(n)}=\\ =(-1)^n\cdot{n!}\cdot(x-2)^{-1-n}-(-1)^n\cdot{n!}\cdot(x-1)^{-1-n} =(-1)^{n}\cdot{n!}\cdot\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right). [/dmath]
При нахождении производных была использована такая формула:
[dmath] (x^m)^{(n)}=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot(m-n+1)x^{m-n} [/dmath]
Ответ
[math](-1)^{n}\cdot{n!}\cdot\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right)[/math]
