1163-5

Информация о задаче

Задача №1163 раздела №2 "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

[math]y=x\ln{x}[/math]. Найти [math]y^{(n)}[/math].

Решение

Первый способ

[math] y'=\ln{x}+1;\\ y''=x^{-1};\\ y'''=-x^{-2};\\ y^{(4)}=2x^{-3};\\ y^{(5)}=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4}. [/math]

Второй способ

Применим формулу Лейбница. В этой формуле ненулевыми будут лишь те два слагаемых, которые содержат [math]x[/math] и [math]x'[/math]:

[math] y^{(5)} =\sum\limits_{k=0}^{5}C_{5}^{k}x^{(k)}(\ln{x})^{(5-k)} =x\cdot(\ln{x})^{(5)}+5\cdot(\ln{x})^{(4)} =x\cdot\frac{(-1)^4\cdot{4!}}{x^5}+5\cdot\frac{(-1)^3\cdot{3!}}{x^4} =-\frac{6}{x^4}. [/math]

Ответ

[math]-\frac{6}{x^4}[/math]