1116-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1116 параграфа №2 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Проверить справедливость теоремы Ролля для функции [math]y=x^3+4x^2-7x-10[/math] на отрезке [math][-1;2][/math].

Решение

Данная функция непрерывна на отрезке [math][-1;2][/math] и дифференцируема на интервале [math](-1;2)[/math]. Найдём значения функции на концах отрезка:

[math] f(-1)=-1+4+7-10=0;\; f(2)=8+16-14-10=0. [/math]

Значения функции на концах заданного отрезка равны, т.е. [math]f(-1)=f(2)[/math]. Исходя из вышесказанного, делаем вывод, что на отрезке [math][-1;2][/math] выполнены условия теоремы Ролля, т.е. существует хотя бы одна точка [math]\xi\in[-1;2][/math] такая, что [math]f'\left(\xi\right)=0[/math].

Проверим справедливость теоремы. Проще всего показать существование точки [math]\xi[/math], указав конкретное значение [math]\xi[/math].

[math] f'(x)=3x^2+8x-7. [/math]

Так как [math]f\left(\xi\right)=0[/math], то:

[math] 3\xi^2+8\xi-7=0;\\ \xi_1=\frac{-4-\sqrt{37}}{3};\;\xi_2=\frac{-4+\sqrt{37}}{3}. [/math]

Отрезку [math][-1;2][/math] принадлежит значение [math]\xi_2[/math]. Следовательно, существует такая точка [math]\xi=\frac{-4+\sqrt{37}}{3}[/math], что [math]f'\left(\xi\right)=0[/math].

Ответ

Справедливость теоремы проверена.