1116-1
Информация о задаче
Задача №1116 параграфа №2 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Проверить справедливость теоремы Ролля для функции [math]y=x^3+4x^2-7x-10[/math] на отрезке [math][-1;2][/math].
Решение
Данная функция непрерывна на отрезке [math][-1;2][/math] и дифференцируема на интервале [math](-1;2)[/math]. Найдём значения функции на концах отрезка:
[dmath] f(-1)=-1+4+7-10=0;\; f(2)=8+16-14-10=0. [/dmath]
Значения функции на концах заданного отрезка равны, т.е. [math]f(-1)=f(2)[/math]. Исходя из вышесказанного, делаем вывод, что на отрезке [math][-1;2][/math] выполнены условия теоремы Ролля, т.е. существует хотя бы одна точка [math]\xi\in[-1;2][/math] такая, что [math]f'\left(\xi\right)=0[/math].
Проверим справедливость теоремы. Проще всего показать существование точки [math]\xi[/math], указав конкретное значение [math]\xi[/math].
[dmath] f'(x)=3x^2+8x-7. [/dmath]
Так как [math]f\left(\xi\right)=0[/math], то:
[dmath] 3\xi^2+8\xi-7=0;\\ \xi_1=\frac{-4-\sqrt{37}}{3};\;\xi_2=\frac{-4+\sqrt{37}}{3}. [/dmath]
Отрезку [math][-1;2][/math] принадлежит значение [math]\xi_2[/math]. Следовательно, существует такая точка [math]\xi=\frac{-4+\sqrt{37}}{3}[/math], что [math]f'\left(\xi\right)=0[/math].
Ответ
Справедливость теоремы проверена.
