1107-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1107 параграфа №1 главы №4 "Исследование функций и их графиков" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Показать, что точка [math]x=0[/math] есть точка минимума функции [math]y=3x^4-4x^3+12x^2+1[/math].

Решение

Данная функция определена при [math]x\in{R}[/math]. Пусть [math]x\neq{0}[/math]. Определим знак разности [math]y(x)-y(0)[/math]:

[math]y(x)-y(0)=3x^4-4x^3+12x^2+1-1=3x^4-4x^3+12x^2=3x^2\cdot\left(\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{32}{9}\right)\gt{0}[/math]

Так как [math]y(x)-y(0)\gt{0}[/math], [math]y(x)\gt{y(0)}[/math] при всех [math]x\neq{0}[/math], то [math]x=0[/math] - точка минимума (строгого) функции [math]y(x)[/math].

Ответ

Утверждение доказано.