Задача №1208
Условие
Найти общее выражение для производной порядка \(n\) от функции \(y=\log_{a}x\).
Решение
В задаче 1207 была получена такая формула:
\[
\left(\ln(ax+b)\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n}
\]
Подставляя в данную формулу \(a=1\), \(b=0\), получим:
\[
\left(\ln{x}\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n}
\]
С учётом вышеизложенного, для функции \(y=\log_{a}x\) будем иметь:
\[
y^{(n)}
=\left(\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\right)^{(n)}
=\frac{1}{\ln{a}}\cdot\left(\ln{x}\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{\ln{a}\cdot{x}^n}
\]
Ответ:
\(y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{\ln{a}\cdot{x}^n}\)