1037-1
Информация о задаче
Задача №1037 параграфа №5 главы №3 "Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее выражение для производной порядка [math]n[/math] от функции [math]y=\log_{a}x[/math].
Решение
В предыдущей задаче 1036-1 была получена такая формула:
[dmath] \left(\ln(ax+b)\right)^{(n)} =\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n} [/dmath]
Подставляя в данную формулу [math]a=1[/math], [math]b=0[/math], получим:
[dmath] \left(\ln{x}\right)^{(n)} =\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n} [/dmath]
С учётом вышеизложенного, для функции [math]y=\log_{a}x[/math] будем иметь:
[dmath] y^{(n)} =\left(\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\right)^{(n)} =\frac{1}{\ln{a}}\cdot\left(\ln{x}\right)^{(n)} =\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{\ln{a}\cdot{x}^n} [/dmath]
Ответ
[math]y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{\ln{a}\cdot{x}^n}[/math]
