Задача №1207
Условие
Найти общее выражение для производной порядка \(n\) от функции \(y=\ln(ax+b)\).
Решение
\[
y'=a\cdot\frac{1}{ax+b}
\]
Дифференцируя обе части данного равенства, имеем:
\[
\left(y'\right)^{(n-1)}=a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)};\;
y^{(n)}=a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)}.
\]
В задаче 1206 была получена такая формула:
\[
\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}
\]
Исходя из данной формулы, имеем:
\[
\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)}=\frac{(-1)^{n-1} a^{n-1} (n-1)!}{(ax+b)^n}
\]
С учётом данной формулы, получим:
\[
y^{(n)}
=a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)}
=\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n}
\]
Ответ:
\(y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n}\)