1036-1
Информация о задаче
Задача №1036 параграфа №5 главы №3 "Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее выражение для производной порядка [math]n[/math] от функции [math]y=\ln(ax+b)[/math].
Решение
[dmath] y'=a\cdot\frac{1}{ax+b} [/dmath]
Дифференцируя обе части данного равенства, имеем:
[dmath]
\left(y'\right)^{(n-1)}=a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)};\;
y^{(n)}=a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)}.
[/dmath]
В предыдущей задаче 1035-1 была получена такая формула:
[dmath] \left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}} [/dmath]
Исходя из данной формулы, имеем:
[dmath] \left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)}=\frac{(-1)^{n-1} a^{n-1} (n-1)!}{(ax+b)^n} [/dmath]
С учётом данной формулы, получим:
[dmath] y^{(n)} =a\cdot\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n-1)} =\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n} [/dmath]
Ответ
[math]y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1} a^{n} (n-1)!}{(ax+b)^n}[/math]
