Задача №1206
Условие
Найти общее выражение для производной порядка \(n\) функции \(y=\frac{1}{ax+b}\).
Решение
Случай \(a=0\) рассматривается элементарно. Пусть \(a\neq{0}\).
\[
\begin{aligned}
& y'=-a\cdot{(ax+b)^{-2}};\\
& y''=-1\cdot{(-2)}\cdot{a^2}\cdot{(ax+b)^{-3}};\\
& y'''=-1\cdot{(-2)}\cdot{(-3)}\cdot{a^3}\cdot{(ax+b)^{-4}}.
\end{aligned}
\]
Исходя из полученных результатов, можно предположить, что выражение для \(y^{(n)}\) будет таким:
\[
y^{(n)}=-1\cdot{(-2)}\cdot\ldots\cdot{(-n)}\cdot{a^n}\cdot(ax+b)^{-(n+1)}
=(-1)^n\cdot{n!}\cdot{a^n}\cdot(ax+b)^{-n-1}
\]
.
Докажем это методом математической индукции. При \(n=1\) равенство верно. Пусть оно верно и при \(n=k\), т.е. \(y^{(k)}=(-1)^k\cdot{k!}\cdot{a^k}\cdot(ax+b)^{-k-1}\). Проверим выполнение равенства при \(n=k+1\):
\[
y^{(k+1)}
=\left((-1)^k\cdot{k!}\cdot{a^k}\cdot(ax+b)^{-k-1}\right)'
=(-1)^{k+1}\cdot{(k+1)!}\cdot{a^{k+1}}\cdot(ax+b)^{-k-2}
\]
Равенство истинно при \(n=k+1\), поэтому согласно методу математической индукции, формула \(y^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}\) верна при всех \(n\in{N}\).
Ответ:
\(y^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}\)