1034-1
Информация о задаче
Задача №1034 параграфа №5 главы №3 "Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее выражение для производной порядка [math]n[/math] от функции [math]y=x\ln{x}[/math].
Решение
В принципе, здесь можно применить и формулу Лейбница, однако же обойдёмся без неё. Для заданной функции получим:
[dmath] \begin{aligned} & y'=\ln{x}+1;\\ & y''=\frac{1}{x}=x^{-1};\\ &y'''=-1\cdot{x^{-2}};\\ &y^{(4)}=-1\cdot(-2)\cdot{x^{-3}};\\ &y^{(5)}=-1\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot{x^{-4}}. \end{aligned} [/dmath]
На основании полученных результатов можем выдвинуть предположение о том, что производная n-го порядка выглядит так:
[dmath] y^{(n)} =-1\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot\ldots\cdot(n-2)\cdot{x^{-n+1}} =(-1)^{n-2}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}} =(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}} [/dmath]
Разумеется, формула [math]y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}[/math] рассматривается при условии [math]n\ge{2}[/math]. Докажем эту формулу, используя метод математической индукции.
При [math]n=2[/math] формула верна, т.е. [math]y''=x^{-1}[/math].
Пусть формула верна при [math]n=k[/math], т.е. [math]y^{(k)}=(-1)^{k}(k-2)!\cdot{x^{-k+1}}[/math].
Докажем истинность формулы при [math]n=k+1[/math], т.е. докажем, что [math]y^{(k+1)}=(-1)^{k+1}(k-1)!\cdot{x^{-k}}[/math].
[dmath] y^{(k+1)} =\left(y^{(k)}\right)' =\left((-1)^{k}(k-2)!\cdot{x^{-k+1}}\right)' =(-1)^{k+1}(k-1)!\cdot{x^{-k}}. [/dmath]
При [math]n=k+1[/math] формула верна. Следовательно, согласно методу математической индукции формула [math]y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}[/math] истинна при всех [math]n\ge{2}[/math].
Ответ
- [math]y'=\ln{x}+1[/math]
- [math]y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}[/math], [math]n\ge{2}[/math].
