Задача №1205
Найти общее выражение для производной порядка \(n\) от функции \(y=x\ln{x}\).
В принципе, здесь можно применить и формулу Лейбница, однако же обойдёмся без неё. Для заданной функции получим:
На основании полученных результатов можем выдвинуть предположение о том, что производная n-го порядка выглядит так:
Разумеется, формула \(y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}\) рассматривается при условии \(n\ge{2}\). Докажем эту формулу, используя метод математической индукции.
При \(n=2\) формула верна, т.е. \(y''=x^{-1}\).
Пусть формула верна при \(n=k\), т.е. \(y^{(k)}=(-1)^{k}(k-2)!\cdot{x^{-k+1}}\).
Докажем истинность формулы при \(n=k+1\), т.е. докажем, что \(y^{(k+1)}=(-1)^{k+1}(k-1)!\cdot{x^{-k}}\).
При \(n=k+1\) формула верна. Следовательно, согласно методу математической индукции формула \(y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}\) истинна при всех \(n\ge{2}\).
- \(y'=\ln{x}+1\)
- \(y^{(n)}=(-1)^{n}(n-2)!\cdot{x^{-n+1}}\), \(n\ge{2}\).