1033-1
Информация о задаче
Задача №1033 параграфа №5 главы №3 "Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее выражение для производной порядка [math]n[/math] от функции [math]y=xe^x[/math].
Решение
Решение без формулы Лейбница
Найдём несколько производных:
[dmath] \begin{aligned} & y'=e^x+xe^x;\\ & y''=2e^x+xe^x;\\ & y'''=3e^x+xe^x. \end{aligned} [/dmath]
Выдвинем гипотезу, что [math]y^{(n)}=n\cdot{e^x}+xe^x[/math]. Докажем её методом математической индукции. При [math]n=1[/math] доказываемое равенство верно. Пусть оно верно и при [math]n=k[/math], т.е. [math]y^{(k)}=k\cdot{e^x}+xe^x[/math]. Проверим истинность равенства при [math]n=k+1[/math]:
[dmath] y^{(k+1)} =\left(k\cdot{e^x}+xe^x\right)' =(k+1)\cdot{e^x}+xe^x. [/dmath]
При [math]n=k+1[/math] равенство выполнено, поэтому согласно методу индукции, равенство [math]y^{(n)}=n\cdot{e^x}+xe^x[/math] верно при всех [math]n\in{N}[/math].
Решение с применением формулы Лейбница
Согласно формуле Лейбница имеем: [math]\left(y_1\cdot{y_2}\right)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}y_{1}^{(n-k)}y_{2}^{(k)}[/math]. В нашем случае [math]y_1=x[/math], [math]y_2=e^x[/math]. Так как при [math]n\ge{2}[/math] имеем [math]y_{1}^{(n)}=0[/math] и, кроме того, [math]y_{2}^{(n)}=e^x[/math] при [math]n\in{N}[/math], то в формуле Лейбница останутся лишь те слагаемые, которые содержат [math]y'_{1}[/math] и [math]y_1[/math], т.е. два слагаемых при [math]k=n-1[/math] и [math]k=n[/math].
[dmath] \left(xe^x\right)^{(n)} =C_{n}^{n-1}e^x+C_{n}^{n}xe^x =ne^x+xe^x. [/dmath]
Ответ
[math]ne^x+xe^x[/math]
