1029-1
Информация о задаче
Задача №1029 параграфа №5 главы №3 "Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее выражение для производной порядка [math]n[/math] от функции [math]y=e^{ax}[/math].
Решение
[dmath] \begin{aligned} & y'=a\cdot{e^{ax}};\\ & y''=a^2\cdot{e^{ax}};\\ &y'''=a^3\cdot{e^{ax}}. \end{aligned} [/dmath]
На основании полученных результатов можем выдвинуть предположение о том, что [math]y^{(n)}=a^n\cdot{e^{ax}}[/math]. Докажем эту формулу, используя метод математической индукции.
При [math]n=1[/math] формула верна, т.е. [math]y'=a\cdot{e^{ax}}[/math].
Пусть формула верна при [math]n=k[/math], т.е. [math]y^{(k)}=a^k\cdot{e^{ax}}[/math].
Докажем истинность формулы при [math]n=k+1[/math], т.е. докажем, что [math]y^{(k+1)}=a^{k+1}\cdot{e^{ax}}[/math].
[dmath] y^{(k+1)} =\left(y^{(k)}\right)' =\left(a^k\cdot{e^{ax}}\right)' =a^{k+1}\cdot{e^{ax}}. [/dmath]
При [math]n=k+1[/math] формула верна. Следовательно, согласно методу математической индукции формула [math]y^{(n)}=a^n\cdot{e^{ax}}[/math] истинна при всех [math]n\in{N}[/math].
Ответ
[math]y^{(n)}=a^n\cdot{e^{ax}}[/math]
