091-05-3

Информация о задаче

Задача №91 параграфа №5 "Интегрирование разных функций" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sh^4{x}\ch^4{x}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\sh^4{x}\ch^4{x}dx =\int\left(\sh{x}\ch{x}\right)^4dx =\int\left(\frac{\sh{2x}}{2}\right)^4dx =\frac{1}{16}\cdot\int\left(\sh^2{x}\right)^2dx =\frac{1}{16}\cdot\int\left(\frac{\ch{4x}-1}{2}\right)^2dx=\\ =\frac{1}{64}\cdot\int\left(\ch^2{4x}-2\ch{4x}+1\right)dx =\frac{1}{64}\cdot\int\left(\frac{\ch{8x}}{2}-2\ch{4x}+\frac{3}{2}\right)dx =\frac{\sh{8x}}{1024}-\frac{\sh{4x}}{128}+\frac{3x}{128}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{\sh{8x}}{1024}-\frac{\sh{4x}}{128}+\frac{3x}{128}+C[/math]