071-20-2

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №71 параграфа №20 "Исследование функций" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать неравенства:

  1. Пункт №1
  2. Пункт №2
  3. Пункт №3
  4. [math]\frac{x-y}{x}\lt\ln\frac{x}{y}\le\frac{x-y}{y}[/math], [math]x\gt{y}\gt{0}[/math].
  5. Пункт №5

Решение

Пункт №4

Первый способ

Функция [math]y=\ln{x}[/math] непрерывна на отрезке [math][y;x][/math]; её производная [math]y'=\frac{1}{x}[/math] существует в каждой точке интервала [math](y;x)[/math]. Согласно теореме Лагранжа существует точка [math]c\in(y;x)[/math] такая, что выполнено равенство [math]\ln{x}-\ln{y}=\frac{1}{c}\cdot(x-y)[/math], т.е. [math]\frac{\ln\frac{x}{y}}{x-y}=\frac{1}{c}[/math].

Так как [math]0\lt{y}\lt{c}\lt{x}[/math], то [math]\frac{1}{x}\lt\frac{1}{c}\lt\frac{1}{y}[/math]. С учётом полученного выше равенства, имеем:

[dmath] \frac{1}{x}\lt\frac{\ln\frac{x}{y}}{x-y}\lt\frac{1}{y};\\ \frac{x-y}{x}\lt\ln\frac{x}{y}\le\frac{x-y}{y}. [/dmath]

Второй способ

Обозначим [math]t=\frac{x}{y}[/math], [math]t\gt{1}[/math]. Тогда заданное в условии неравенство примет такой вид:

[dmath] 1-\frac{1}{t}\lt\ln{t}\lt{t-1}. [/dmath]

Рассмотрим две функции: [math]f(t)=t-\ln{t}-1[/math], [math]g(t)=\ln{t}+\frac{1}{t}-1[/math]. Отметим, что [math]g(1)=f(1)=0[/math].

[dmath] \begin{aligned} & f'(t)=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t};\\ & g'(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t-1}{t^2}. \end{aligned} [/dmath]

Так как при [math]t\gt{1}[/math] имеем [math]f'(t)\gt{0}[/math] и [math]g'(t)\gt{0}[/math], то данные функции возрастают на [math](1;+\infty)[/math]. С учётом [math]f'(1)=g'(1)=0[/math] можно сделать вывод о возрастании рассматриваемых функций на [math][1;+\infty)[/math], что означает выполнение неравенств [math]f(t)\gt{f(1)}[/math] и [math]g(t)\gt{g(1)}[/math] при [math]t\gt{1}[/math]. Иными словами, при [math]t\gt{0}[/math] имеем [math]f(t)\gt{0}[/math] и [math]g(t)\gt{0}[/math].

Исходя из доказанных неравенств получим:

[dmath] \begin{aligned} & t-\ln{t}-1\gt{0};\; \ln{t}\lt{t-1};\\ & \ln{t}+\frac{1}{t}-1\gt{0};\; \ln{t}\gt{1-\frac{1}{t}}. \end{aligned} [/dmath]

Итак, неравенство [math]1-\frac{1}{t}\lt\ln{t}\lt{t-1}[/math] доказано. Полагая [math]t=\frac{x}{y}[/math], где [math]x\gt{y}\gt{0}[/math] мы и приходим к неравенству [math]\frac{x-y}{x}\lt\ln\frac{x}{y}\le\frac{x-y}{y}[/math], [math]x\gt{y}\gt{0}[/math].

Ответ