0603-5

Информация о задаче

Задача №603 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}x\left[\frac{1}{x}\right][/math].

Решение

Осуществим замену [math]t=\frac{1}{x}[/math], где [math]t\to\infty[/math].

[math] \lim_{x\to{0}}x\left[\frac{1}{x}\right] =\lim_{t\to\infty}\left(\frac{1}{t}\cdot[t]\right) =\lim_{t\to\infty}\frac{[t]}{[t]+\{t\}} =\lim_{t\to\infty}\frac{1}{1+\{t\}\cdot\frac{1}{[t]}} =1. [/math]

Здесь использован тот факт, что функция [math]\{t\}[/math] ограниченная, а функция [math]\frac{1}{[t]}[/math] – бесконечно малая. Соответственно, функция [math]\{t\}\cdot\frac{1}{[t]}[/math] есть бесконечно малая.

Ответ

1