0562-5
Информация о задаче
Задача №562 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+2^x\right)\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)[/math].
Решение
[dmath] \lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+2^x\right)\ln\left(1+\frac{3}{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\ln\left(2^x\cdot\left(1+\frac{1}{2^x}\right)\right)\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)=\\ =\lim_{x\to+\infty}\left(x\ln{2}+\ln\left(1+\frac{1}{2^x}\right) \right)\ln\left(1+\frac{3}{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\ln{2}\cdot\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{2^x}\right)\cdot\ln\left(1+\frac{3}{x}\right) \right)=\\ =\lim_{x\to+\infty}\left(3\ln{2}\cdot\frac{\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{3}{x}}+\ln\left(1+\frac{1}{2^x}\right)\cdot\ln\left(1+\frac{3}{x}\right) \right) =3\ln{2}+0\cdot{0} =3\ln{2}. [/dmath]
Ответ
[math]3\ln{2}[/math]
