0561-5

Информация о задаче

Задача №561 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти пределы:

1. [math]\lim_{x\to-\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+2^x\right)}[/math]
2. [math]\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+2^x\right)}[/math]

Решение

Пункт №1

[math] \lim_{x\to-\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+2^x\right)} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{3^x}}{\frac{\ln\left(1+2^x\right)}{2^x}}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^x\right) =\frac{1}{1}\cdot{0} =0. [/math]

Пункт №2

[math] \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+2^x\right)} =\left[\frac{\infty}{\infty}\right] =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(3^x\cdot\left(1+3^{-x}\right)\right)}{\ln\left(2^x\cdot\left(1+2^{-x}\right)\right)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\ln{3}+\ln\left(1+3^{-x}\right)}{x\ln{2}+\ln\left(1+2^{-x}\right)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln{3}+\frac{\ln\left(1+3^{-x}\right)}{x}}{\ln{2}+\frac{\ln\left(1+2^{-x}\right)}{x}} =\frac{\ln{3}}{\ln{2}}. [/math]

Ответ

1. 0
2. [math]\frac{\ln{3}}{\ln{2}}[/math]