0544-5

Информация о задаче

Задача №544 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\left(x+e^x\right)^{\frac{1}{x}}[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{x+e^x-1}{x} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{e^x-1}{x}\right) =1+1 =2. [/math]

[math] \lim_{x\to{0}}\left(x+e^x\right)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+x+e^x-1\right)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+x+e^x-1\right)^{\frac{1}{x+e^x-1}}\right)^{\frac{x+e^x-1}{x}} =e^2. [/math]

Ответ

[math]e^2[/math]