Задача №2016
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{a}}\frac{x^x-a^a}{x-a}\) при \(a\gt{0}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел, чтобы потом не загромождать записи:
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{x\ln{x}-a\ln{a}}{x-a}
=\left[t=x-a\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{(t+a)\ln(a+t)-a\ln{a}}{t}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{t\ln(a+t)+a\left(\ln(a+t)-\ln{a}\right)}{t}
=\lim_{t\to{0}}\left(\ln(a+t)+\frac{\ln\left(1+\frac{t}{a}\right)}{\frac{t}{a}}\right)
=\ln{a}+1.
\]
Вернёмся к исходному пределу:
\[
\lim_{x\to{a}}\frac{x^x-a^a}{x-a}
=\lim_{x\to{a}}\frac{e^{x\ln{x}-e^{a}\ln{a}}}{x-a}
=\lim_{x\to{a}}\frac{e^{a\ln{a}}\cdot\left(e^{x\ln{x}-a\ln{a}}-1\right)}{x-a}=\\
=\lim_{x\to{a}}\left(e^{a\ln{a}}\cdot\frac{e^{x\ln{x}-a\ln{a}}-1}{x\ln{x}-a\ln{a}}\cdot\frac{x\ln{x}-a\ln{a}}{x-a}\right)
=e^{a\ln{a}}(\ln{a}+1)
=a^a(\ln{a}+1).
\]
Ответ:
\(a^a(\ln{a}+1)\)