0543-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №543 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{a}}\frac{x^x-a^a}{x-a}[/math] при [math]a\gt{0}[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел, чтобы потом не загромождать записи:

[math] \lim_{x\to{a}}\frac{x\ln{x}-a\ln{a}}{x-a} =\left[t=x-a\right] =\lim_{t\to{0}}\frac{(t+a)\ln(a+t)-a\ln{a}}{t}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{t\ln(a+t)+a\left(\ln(a+t)-\ln{a}\right)}{t} =\lim_{t\to{0}}\left(\ln(a+t)+\frac{\ln\left(1+\frac{t}{a}\right)}{\frac{t}{a}}\right) =\ln{a}+1. [/math]

Вернёмся к исходному пределу:

[math] \lim_{x\to{a}}\frac{x^x-a^a}{x-a} =\lim_{x\to{a}}\frac{e^{x\ln{x}-e^{a}\ln{a}}}{x-a} =\lim_{x\to{a}}\frac{e^{a\ln{a}}\cdot\left(e^{x\ln{x}-a\ln{a}}-1\right)}{x-a}=\\ =\lim_{x\to{a}}\left(e^{a\ln{a}}\cdot\frac{e^{x\ln{x}-a\ln{a}}-1}{x\ln{x}-a\ln{a}}\cdot\frac{x\ln{x}-a\ln{a}}{x-a}\right) =e^{a\ln{a}}(\ln{a}+1) =a^a(\ln{a}+1). [/math]

Ответ

[math]a^a(\ln{a}+1)[/math]