Задача №2014
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\sqrt[x]{\cos\sqrt{x}}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}}{x}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin\frac{\sqrt{x}}{2}}{\frac{\sqrt{x}}{2}}\right)^2\cdot\frac{1}{2}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
Вернёмся к исходному пределу:
\[
\lim_{x\to{0}}\sqrt[x]{\cos\sqrt{x}}
=\lim_{x\to{0}}\left(\cos\sqrt{x}\right)^{\frac{1}{x}}
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\cos\sqrt{x}-1\right)^{\frac{1}{x}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(1-2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(1-2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^{\frac{1}{-2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}}}\right)^{\frac{-2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}}{x}}
=e^{-\frac{1}{2}}
=\frac{1}{\sqrt{e}}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{\sqrt{e}}\)