0523-5
Информация о задаче
Задача №523 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin{x}\right)^{\tg{x}}[/math].
Решение
Предварительно найдём один предел, чтобы не загромождать дальнейшие вычисления:
[dmath] \lim_{t\to{0}}\frac{(1-\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}} =\lim_{t\to{0}}\frac{(1-\cos{t})(1+\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}(1+\cos{t})} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2{t}\cos{t}}{\sin{t}(1+\cos{t})} =0. [/dmath]
Возращаясь к заданному пределу, и осуществляя в нём замену переменной [math]t=x-\frac{\pi}{2}[/math], будем иметь:
[dmath] \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin{x}\right)^{\tg{x}} =\lim_{t\to{0}}\left(\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\right)^{\tg\left(t+\frac{\pi}{2}\right)} =\lim_{t\to{0}}(\cos{t})^{-\ctg{t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}(1+\cos{t}-1)^{-\frac{\cos{t}}{\sin{t}}} =\lim_{t\to{0}}\left((1+\cos{t}-1)^{\frac{1}{\cos{t}-1}}\right)^{\frac{(1-\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}}} =e^0 =1. [/dmath]
Ответ
1
