Задача №2013
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin{x}\right)^{\tg{x}}\).
Решение
Предварительно найдём один предел, чтобы не загромождать дальнейшие вычисления:
\[
\lim_{t\to{0}}\frac{(1-\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}}
=\lim_{t\to{0}}\frac{(1-\cos{t})(1+\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}(1+\cos{t})}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2{t}\cos{t}}{\sin{t}(1+\cos{t})}
=0.
\]
Возращаясь к заданному пределу, и осуществляя в нём замену переменной \(t=x-\frac{\pi}{2}\), будем иметь:
\[
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin{x}\right)^{\tg{x}}
=\lim_{t\to{0}}\left(\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)\right)^{\tg\left(t+\frac{\pi}{2}\right)}
=\lim_{t\to{0}}(\cos{t})^{-\ctg{t}}=\\
=\lim_{t\to{0}}(1+\cos{t}-1)^{-\frac{\cos{t}}{\sin{t}}}
=\lim_{t\to{0}}\left((1+\cos{t}-1)^{\frac{1}{\cos{t}-1}}\right)^{\frac{(1-\cos{t})\cos{t}}{\sin{t}}}
=e^0
=1.
\]
Ответ:
1