0521-5

Информация о задаче

Задача №521 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}}[/math].

Решение

С помощью первого замечательного предела несложно получить такой результат: [math]\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{x^2\cos{2x}}=\frac{3}{2}[/math]. С учётом данного предела, будем иметь:

[math] \lim_{x\to{0}}\left(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}-1\right)^{\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{\cos{2x}}{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}}\right)^{\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{x^2\cos{2x}}} =e^{\frac{3}{2}}. [/math]

Ответ

[math]e^{\frac{3}{2}}[/math]