Задача №2011
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}}\).
Решение
С помощью первого замечательного предела несложно получить такой результат: \(\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{x^2\cos{2x}}=\frac{3}{2}\). С учётом данного предела, будем иметь:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}}
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}-1\right)^{\frac{1}{x^2}}
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{\cos{2x}}{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}}\right)^{\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{x^2\cos{2x}}}
=e^{\frac{3}{2}}.
\]
Ответ:
\(e^{\frac{3}{2}}\)