0517-5

Информация о задаче

Задача №517 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\left(1+x^2\right)^{\ctg{2x}}[/math].

Решение

Рассмотрим вспомогательный предел, чтобы потом не загромождать записи:

[math] \lim_{x\to{0}}\left(x^2\ctg{2x}\right) =\lim_{x\to{0}}\left(x^2\cdot\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}\right) =\lim_{x\to{0}}\left(x\cdot\frac{\cos{2x}}{\frac{\sin{2x}}{2x}\cdot{2}}\right) =0. [/math]

Вернёмся к исходному пределу:

[math] \lim_{x\to{0}}\left(1+x^2\right)^{\ctg{2x}} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{x^2}}\right)^{x^2\ctg{2x}} =e^0 =1. [/math]

Ответ

1