Задача №2007
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\left(1+x^2\right)^{\ctg{2x}}\).
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел, чтобы потом не загромождать записи:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(x^2\ctg{2x}\right)
=\lim_{x\to{0}}\left(x^2\cdot\frac{\cos{2x}}{\sin{2x}}\right)
=\lim_{x\to{0}}\left(x\cdot\frac{\cos{2x}}{\frac{\sin{2x}}{2x}\cdot{2}}\right)
=0.
\]
Вернёмся к исходному пределу:
\[
\lim_{x\to{0}}\left(1+x^2\right)^{\ctg{2x}}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{x^2}}\right)^{x^2\ctg{2x}}
=e^0
=1.
\]
Ответ:
1