Задача №2005
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}\right)\).
Решение
\[
\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}
=2\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}.
\]
Рассмотрим вспомогательный предел:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}
=0.
\]
Так как при \(x\to+\infty\) имеем \(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\to{0}\), то функция \(\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\) – бесконечно малая. Так как функция \(\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\) является ограниченной, то функция \(\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\) – бесконечно малая.
Ответ:
0