0505-5

Информация о задаче

Задача №505 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to+\infty}\left(\sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x}\right)[/math].

Решение

[math] \sin\sqrt{x+1}-\sin\sqrt{x} =2\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}. [/math]

Рассмотрим вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)} =0. [/math]

Так как при [math]x\to+\infty[/math] имеем [math]\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\to{0}[/math], то функция [math]\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}[/math] – бесконечно малая. Так как функция [math]\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}[/math] является ограниченной, то функция [math]\sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}[/math] – бесконечно малая.

Ответ

[math]0[/math]