Задача №2004
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}\).
Решение
\[
\frac{1-\cos{x}\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}
=\frac{1+(1-\cos{x})\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}-\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}=\\
=\frac{(1-\cos{x})\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}-\frac{1-\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}=\\
=\frac{(1-\cos{x})\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}-\frac{\left(1-\sqrt{\cos{2x}}\right)\sqrt[3]{\cos{3x}}+1-\sqrt[3]{\cos{2x}}}{x^2}=\\
=\frac{1-\cos{x}}{x^2}\cdot\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}+\frac{1-\sqrt{\cos{2x}}}{x^2}\cdot\sqrt[3]{\cos{3x}}+\frac{1-\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}
\]
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\cos{x}\right)\left(1+\cos{x}\right)}{x^2\left(1+\cos{x}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos^2x}{x^2\left(1+\cos{x}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos{x}}\right)
=\frac{1}{2}.
\]
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\sqrt{\cos{2x}}}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\sqrt{\cos{2x}}\right)\cdot\left(1+\sqrt{\cos{2x}}\right)}{x^2\cdot\left(1+\sqrt{\cos{2x}}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{2x}}{x^2\cdot\left(1+\sqrt{\cos{2x}}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2{x}}{x^2\cdot\left(1+\sqrt{\cos{2x}}\right)}
=1.
\]
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(1-\sqrt[3]{\cos{3x}}\right)\left(1+\sqrt[3]{\cos{3x}}+\sqrt[3]{\cos^2{3x}}\right)}{x^2\left(1+\sqrt[3]{\cos{3x}}+\sqrt[3]{\cos^2{3x}}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{3x}}{x^2\left(1+\sqrt[3]{\cos{3x}}+\sqrt[3]{\cos^2{3x}}\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x^2\left(1+\sqrt[3]{\cos{3x}}+\sqrt[3]{\cos^2{3x}}\right)}
=\frac{3}{2}.
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}\sqrt{\cos{2x}}\sqrt[3]{\cos{3x}}}{x^2}
=\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}
=3.
\]
Ответ:
3