0501-5
Информация о задаче
Задача №501 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{\cos{x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2x}[/math].
Решение
Можно решить с помощью домножения на сопряжённые выражения, но проще, как мне кажется, сделать замену [math]t=\sqrt[6]{\cos{x}}[/math].
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{\cos{x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2x} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{\cos{x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{1-\cos^2{x}} =\lim_{t\to{1}}\frac{t^3-t^2}{1-t^{12}}=\\ =\lim_{t\to{1}}\frac{t^2(t-1)}{-(t-1)\left(t^{11}+t^{10}+\ldots+1\right)} =\lim_{t\to{1}}\frac{t^2}{-\left(t^{11}+t^{10}+\ldots+1\right)} =-\frac{1}{12}. [/dmath]
Ответ
[math]-\frac{1}{12}[/math]
