Задача №2002
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{\cos{x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2x}\).
Решение
Можно решить с помощью домножения на сопряжённые выражения, но проще, как мне кажется, сделать замену \(t=\sqrt[6]{\cos{x}}\).
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{\cos{x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{\sin^2x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{\cos{x}}-\sqrt[3]{\cos{x}}}{1-\cos^2{x}}
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^3-t^2}{1-t^{12}}=\\
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^2(t-1)}{-(t-1)\left(t^{11}+t^{10}+\ldots+1\right)}
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^2}{-\left(t^{11}+t^{10}+\ldots+1\right)}
=-\frac{1}{12}.
\]
Ответ:
\(-\frac{1}{12}\)