0499-5
Информация о задаче
Задача №499 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+\tg{x}}-\sqrt{1+\sin{x}}}{x^3}[/math].
Решение
Здесь будет нужен предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}=\frac{1}{2}[/math], рассмотренный в задаче 0325-1.
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+\tg{x}}-\sqrt{1+\sin{x}}}{x^3} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+\tg{x}}-\sqrt{1+\sin{x}}\right)\cdot\left(\sqrt{1+\tg{x}}+\sqrt{1+\sin{x}}\right)}{x^3\cdot\left(\sqrt{1+\tg{x}}+\sqrt{1+\sin{x}}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tg{x}}+\sqrt{1+\sin{x}}}\right) =\frac{1}{4}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{4}[/math]
