0498-5

Информация о задаче

Задача №498 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1-\ctg^3{x}}{2-\ctg{x}-\ctg^3{x}}[/math].

Решение

Замена [math]t=\ctg{x}[/math]:

[dmath] \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{1-\ctg^3{x}}{2-\ctg{x}-\ctg^3{x}} =\lim_{t\to{1}}\frac{t^3-1}{t^3+t-2} =\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)\left(t^2+t+1\right)}{(t-1)\left(t^2+t+2\right)} =\lim_{t\to{1}}\frac{t^2+t+1}{t^2+t+2} =\frac{3}{4}. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{3}{4}[/math]