0495-5
Информация о задаче
Задача №495 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos{x}}[/math].
Решение
[dmath] \lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos{x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(2\cdot\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\right)}{2\cdot\left(\cos\frac{\pi}{3}-\cos{x}\right)} =\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)}{4\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)} =\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)} =\frac{1}{\sqrt{3}}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]
