0495-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №495 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos{x}}[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos{x}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin\left(2\cdot\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\right)}{2\cdot\left(\cos\frac{\pi}{3}-\cos{x}\right)} =\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)}{4\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)} =\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)} =\frac{1}{\sqrt{3}}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]