0478-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №478 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{px}-\cos{px}}[/math].

Решение

Здесь есть два пути решения: использовать тригонометрические формулы [math]2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos{x}[/math] и [math]\sin{x}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/math] или же асимптотические разложения: [math]1-\cos{u}=o(u)[/math] и [math]\sin{u}=u+o(u)[/math].

Первый способ

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{px}-\cos{px}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}+\sin{x}}{1-\cos{px}+\sin{px}} =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}+\sin{x}}{2\sin^2\frac{px}{2}+\sin{px}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{px}{2}+2\sin\frac{px}{2}\cos\frac{px}{2}} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\frac{x}{2}\cdot\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)}{\sin\frac{px}{2}\cdot\left(\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}\right)} =\frac{1}{p}\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin\frac{px}{2}}{\frac{px}{2}}}\cdot\frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right) =\frac{1}{p}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{p}. [/math]

Второй способ

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{px}-\cos{px}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{x+o(x)}{px+o(x)} =\lim_{x\to{0}}\frac{1+\frac{o(x)}{x}}{p+\frac{o(x)}{x}}=\frac{1}{p}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{p}[/math]