Задача №1994
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{px}-\cos{px}}\).
Решение
Здесь есть два пути решения: использовать тригонометрические формулы \(2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos{x}\) и \(\sin{x}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\) или же асимптотические разложения: \(1-\cos{u}=o(u)\) и \(\sin{u}=u+o(u)\).
Первый способ
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{px}-\cos{px}}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}+\sin{x}}{1-\cos{px}+\sin{px}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}+\sin{x}}{2\sin^2\frac{px}{2}+\sin{px}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{px}{2}+2\sin\frac{px}{2}\cos\frac{px}{2}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\frac{x}{2}\cdot\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)}{\sin\frac{px}{2}\cdot\left(\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}\right)}=\\
=\frac{1}{p}\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}{\frac{\sin\frac{px}{2}}{\frac{px}{2}}}\cdot\frac{\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{px}{2}+\cos\frac{px}{2}}\right)
=\frac{1}{p}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{p}.
\]
Второй способ
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{px}-\cos{px}}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{x+o(x)}{px+o(x)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1+\frac{o(x)}{x}}{p+\frac{o(x)}{x}}=\frac{1}{p}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{p}\)