Задача №1993
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{x^2}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{-2\sin{2x}\cdot\sin(-x)}{x^2}
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin{2x}\cdot\sin{x}}{x^2}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{4\sin^2x\cdot\cos{x}}{x^2}
=4\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\cos{x}\right)=4\cdot{1^2}\cdot{1}=1.
\]
Ответ:
1