Задача №1991
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3x}\).
Решение
В этом примере есть два пути решения: с использованием первого замечательного предела и без оного. Начало решения одинаковое, как в первом, так и втором случаях:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{\sin^3x}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\sin{x}}{\sin^3x}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot\left(\frac{1}{\cos{x}}-1\right)}{\sin^3x}
=\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{1}{\cos{x}}-1}{\sin^2x}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\sin^2x\cdot\cos{x}}
\]
Дальше можно продолжить решение с помощью простого преобразования: \(\sin^2x=1-\cos^2x\):
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\sin^2x\cdot\cos{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\left(1-\cos^2x\right)\cdot\cos{x}}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\left(1-\cos{x}\right)\cdot\left(1+\cos{x}\right)\cdot\cos{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\left(1+\cos{x}\right)\cdot\cos{x}}
=\frac{1}{2}.
\]
А можно использовать равенство \(1-\cos{x}=2\sin^2\frac{x}{2}\), а затем применить первый замечательный предел:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{\sin^2x\cdot\cos{x}}
=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2x\cdot\cos{x}}
=\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2}{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot\cos{x}}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\)