0474-5

Информация о задаче

Задача №474 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти пределы:

1. [math]\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2}[/math]
2. [math]\lim_{x\to{0}}x\ctg{3x}[/math]
3. [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}-\sin{3x}}{\sin{x}}[/math]

Решение

Пункт №1

[math]\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} =\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 =\frac{1}{2}\cdot{1}=\frac{1}{2}.[/math]

Пункт №2

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}}{x\cos{x}} =\frac{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}}{x}}{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\cos{x}}=\frac{1}{1}=1. [/math]

В этом выражении был применён результат [math]\lim_{x\to{0}}\cos{x}=1[/math]. В принципе, при желании несложно доказать этот предел.

Можно доказать данный предел по определению. Докажем, что для любого [math]\varepsilon\gt{0}[/math] существует такое [math]\delta\gt{0}[/math], что из неравенства [math]0\lt|x|\lt\delta[/math] (условие [math]0\lt|x|[/math] означает, что [math]x\neq{0}[/math]) следует неравенство [math]|\cos{x}-1|\lt\varepsilon[/math]. Так как [math]|\sin{x}|\lt|x|[/math] при всех [math]x\neq{0}[/math], то:

[dmath]|\cos{x}-1|=2\left|\sin^2\frac{x}{2}\right|\lt{2}\cdot\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{2}\lt\varepsilon[/dmath]

[dmath]\frac{x^2}{2}\lt\varepsilon;\;x^2\lt{2}\varepsilon;\;|x|\lt\sqrt{2\varepsilon}.[/dmath]

В преобразованиях учтён тот факт, что [math]x\neq{0}[/math]. Итак, для любого [math]\varepsilon\gt{0}[/math] существует значение [math]\delta=\sqrt{2\varepsilon}[/math] такое, что из неравенства [math]0\lt|x|\lt\delta[/math] следует неравенство [math]|\cos{x}-1|\lt\varepsilon[/math]. Следовательно, [math]\lim_{x\to{0}}\cos{x}=1[/math].

Можно доказать и по-иному. Так как в любой проколотой окрестности нуля (т.е. окрестности нуля за исключением самой точки [math]x_0=0[/math]) имеем [math]|\cos{x}-1|=2\left|\sin^2\frac{x}{2}\right|\lt|x|[/math], то:

[dmath]-|x|\lt\cos{x}-1<|x|;\;1-|x|\lt\cos{x}\lt{1}+|x|.[/dmath]

Так как [math]\lim_{x\to{0}}(1-|x|)=1[/math] и [math]\lim_{x\to{0}}(1+|x|)=1[/math], то [math]\lim_{x\to{0}}\cos{x}=1[/math].

Пункт №3

Используем результат предыдущего пункта.

[math] \lim_{x\to{0}}x\ctg{3x}=\left|0\cdot\infty\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{x}{\tg{3x}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{3x}}{3x}}=\frac{1}{3}. [/math]

Ответ

1. [math]\frac{1}{2}[/math]
2. 1
3. [math]\frac{1}{3}[/math]