0473-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №473 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\pi}\frac{\sin{mx}}{\sin{nx}}[/math], где [math]m\in{Z}[/math], [math]n\in{Z}[/math].

Решение

Осуществим замену переменной по формуле [math]x=t+\pi[/math], т.е. [math]t=x-\pi[/math]. При этом [math]t\to{0}[/math]. Полагая [math]m\neq{0}[/math], получим:


[math] \lim_{x\to\pi}\frac{\sin{mx}}{\sin{nx}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&x=t+\pi;\\&t\to{0}.\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{\left(mt+\pi{m}\right)}}{\sin{\left(nt+\pi{n}\right)}} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{mt}\cos{\pi{m}}+\cos{mt}\sin{\pi{m}}}{\sin{nt}\cos{\pi{n}}+\cos{nt}\sin{\pi{n}}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{mt}\cdot{(-1)^m}+\cos{mt}\cdot{0}}{\sin{nt}\cdot{(-1)^n}+\cos{nt}\cdot{0}} =\frac{(-1)^m}{(-1)^n}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{mt}}{\sin{nt}} =(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{\sin{mt}}{mt}}{\frac{\sin{nt}}{nt}}=\\ =(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}\cdot\frac{\displaystyle\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{mt}}{mt}}{\displaystyle\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{nt}}{nt}} =(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}\cdot\frac{1}{1} =(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}. [/math]

Непосредственной проверкой несложно убедиться, что полученный результат останется верным и при [math]m=0[/math].

Ответ

[math](-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}[/math]