Задача №1987
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to\pi}\frac{\sin{mx}}{\sin{nx}}\), где \(m\in{Z}\), \(n\in{Z}\).
Решение
Осуществим замену переменной по формуле \(x=t+\pi\), т.е. \(t=x-\pi\). При этом \(t\to{0}\). Полагая \(m\neq{0}\), получим:
\[
\lim_{x\to\pi}\frac{\sin{mx}}{\sin{nx}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\left[\begin{aligned}& x=t+\pi;\\& t\to{0}.\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{\left(mt+\pi{m}\right)}}{\sin{\left(nt+\pi{n}\right)}}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{mt}\cos{\pi{m}}+\cos{mt}\sin{\pi{m}}}{\sin{nt}\cos{\pi{n}}+\cos{nt}\sin{\pi{n}}}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{mt}\cdot{(-1)^m}+\cos{mt}\cdot{0}}{\sin{nt}\cdot{(-1)^n}+\cos{nt}\cdot{0}}
=\frac{(-1)^m}{(-1)^n}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{mt}}{\sin{nt}}
=(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{\sin{mt}}{mt}}{\frac{\sin{nt}}{nt}}=\\
=(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}\cdot\frac{\displaystyle\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{mt}}{mt}}{\displaystyle\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{nt}}{nt}}
=(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}\cdot\frac{1}{1}
=(-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}.
\]
Непосредственной проверкой несложно убедиться, что полученный результат останется верным и при \(m=0\).
Ответ:
\((-1)^{m-n}\cdot\frac{m}{n}\)