0470-5
Информация о задаче
Задача №470 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти постоянные [math]a_i[/math] и [math]b_i[/math] ([math]i=1,2[/math]) из условий: [math]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_1x-b_1\right)=0[/math] и [math]\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_2x-b_2\right)=0[/math].
Решение
Если [math]a_1\ge{0}[/math] или [math]a_2\le{0}[/math], то соответствующие пределы равны [math]\infty[/math], поэтому все дальнейшие рассуждения ведём при условиях [math]a_1\lt{0}[/math], [math]a_2\gt{0}[/math]. Сделаем одно вспомогательное преобразование:
[dmath] \sqrt{x^2-x+1}-a_ix-b_i=\frac{\left(\sqrt{x^2-x+1}-\left(a_ix+b_i\right)\right)\cdot\left(\sqrt{x^2-x+1}+\left(a_ix+b_i\right)\right)}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i} =\frac{\left(1-a_{i}^{2}\right)x^2+\left(-1-2a_ib_i\right)x+1-b_{i}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i} [/dmath]
Если коэффициент перед [math]x^2[/math] не равен нулю, т.е. [math]1-a_{i}^{2}\neq{0}[/math], то:
[dmath] \lim_{x\to\infty}\frac{\left(1-a_{i}^{2}\right)x^2+\left(-1-2a_ib_i\right)x+1-b_{i}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-a_{i}^{2}+\frac{-1-2a_ib_i}{x}+\frac{1-b_{i}^{2}}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x^2}+\frac{a_i}{x}+\frac{b_i}{x^2}}=\infty [/dmath]
Таким образом, равенства, указанные в условии задачи, возможны лишь при [math]1-a_{i}^{2}=0[/math], откуда (с учётом условий [math]a_1\lt{0}[/math], [math]a_2\gt{0}[/math]) получим: [math]a_1=-1[/math], [math]a_2=1[/math]. Первый предел при условии [math]a_1=-1[/math] примет вид:
[dmath] \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_1x-b_1\right) =\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(-1+2b_1\right)x+1-b_{1}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}-x+b_1}=\\ =\lim_{x\to-\infty}\frac{-1+2b_1+\frac{1-b_{1}^{2}}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}-1+\frac{b_1}{x}} =\lim_{x\to-\infty}\frac{-1+2b_1+\frac{1-b_{1}^{2}}{x}}{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1+\frac{b_1}{x}} =\frac{-2b_1+1}{2}. [/dmath]
Согласно условию, [math]\frac{-2b_1+1}{2}=0[/math], поэтому [math]b_1=\frac{1}{2}[/math]. Обратимся к второму пределу. При условии [math]a_2=1[/math] имеем:
[dmath] \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_2x-b_2\right) =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(-1-2b_2\right)x+1-b_{2}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+x+b_2}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-1-2b_2+\frac{1-b_{2}^{2}}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}+1+\frac{b_2}{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{-1-2b_2+\frac{1-b_{2}^{2}}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1+\frac{b_2}{x}} =\frac{-2b_1-1}{2}. [/dmath]
Согласно условию, [math]\frac{-2b_2-1}{2}=0[/math], поэтому [math]b_2=-\frac{1}{2}[/math].
Ответ
- [math]a_1=-1[/math], [math]b_1=\frac{1}{2}[/math];
- [math]a_2=1[/math], [math]b_2=-\frac{1}{2}[/math].
