Решение
Если \(a_1\ge{0}\) или \(a_2\le{0}\), то соответствующие пределы равны \(\infty\), поэтому все дальнейшие рассуждения ведём при условиях \(a_1\lt{0}\), \(a_2\gt{0}\). Сделаем одно вспомогательное преобразование:
\[
\sqrt{x^2-x+1}-a_ix-b_i=\frac{\left(\sqrt{x^2-x+1}-\left(a_ix+b_i\right)\right)\cdot\left(\sqrt{x^2-x+1}+\left(a_ix+b_i\right)\right)}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i}=\\
=\frac{\left(1-a_{i}^{2}\right)x^2+\left(-1-2a_ib_i\right)x+1-b_{i}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i}
\]
Если коэффициент перед \(x^2\) не равен нулю, т.е. \(1-a_{i}^{2}\neq{0}\), то:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{\left(1-a_{i}^{2}\right)x^2+\left(-1-2a_ib_i\right)x+1-b_{i}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+a_ix+b_i}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1-a_{i}^{2}+\frac{-1-2a_ib_i}{x}+\frac{1-b_{i}^{2}}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x^2}+\frac{a_i}{x}+\frac{b_i}{x^2}}=\infty
\]
Таким образом, равенства, указанные в условии задачи, возможны лишь при \(1-a_{i}^{2}=0\), откуда (с учётом условий \(a_1\lt{0}\), \(a_2\gt{0}\)) получим: \(a_1=-1\), \(a_2=1\). Первый предел при условии \(a_1=-1\) примет вид:
\[
\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_1x-b_1\right)
=\lim_{x\to-\infty}\frac{\left(-1+2b_1\right)x+1-b_{1}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}-x+b_1}=\\
=\lim_{x\to-\infty}\frac{-1+2b_1+\frac{1-b_{1}^{2}}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}-1+\frac{b_1}{x}}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{-1+2b_1+\frac{1-b_{1}^{2}}{x}}{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1+\frac{b_1}{x}}
=\frac{-2b_1+1}{2}.
\]
Согласно условию, \(\frac{-2b_1+1}{2}=0\), поэтому \(b_1=\frac{1}{2}\). Обратимся к второму пределу. При условии \(a_2=1\) имеем:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_2x-b_2\right)
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(-1-2b_2\right)x+1-b_{2}^{2}}{\sqrt{x^2-x+1}+x+b_2}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1-2b_2+\frac{1-b_{2}^{2}}{x}}{\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}+1+\frac{b_2}{x}}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{-1-2b_2+\frac{1-b_{2}^{2}}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1+\frac{b_2}{x}}
=\frac{-2b_1-1}{2}.
\]
Согласно условию, \(\frac{-2b_2-1}{2}=0\), поэтому \(b_2=-\frac{1}{2}\).