Задача №1983
Условие
Найти постоянные \(a\) и \(b\) из условия \(\lim_{x\to{\infty}}\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=0\).
Решение
\[
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{(1-a)x^2+(-a-b)x+b-1}{x+1}
\]
Предел отношения многочленов при \(x\to\infty\) равен нулю. Это означает, что степень числителя меньше степени знаменателя. Следовательно:
\[
\left\{\begin{aligned}
& 1-a=0;\\
& -a-b=0.
\end{aligned}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
& a=1;\\
& b=-1.
\end{aligned}\right.
\]
Ответ:
\(a=1\), \(b=-1\).