0468-5
Информация о задаче
Задача №468 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Изучить поведение корней [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] квадратного уравнения [math]ax^2+bx+c=0[/math], у которого коэффициент [math]a[/math] стремится к нулю, а коэффициенты [math]b[/math] и [math]c[/math] постоянны, причём [math]b\neq{0}[/math].
Решение
Корни квадратного уравнения таковы:
[dmath] x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\;x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. [/dmath]
Пусть, для определённости, [math]b\gt{0}[/math]. Тогда:
[dmath] \lim_{a\to{0}}x_1=\lim_{a\to{0}}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\infty;\\ \lim_{a\to{0}}x_2=\lim_{a\to{0}}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\lim_{a\to{0}}\frac{\left(\sqrt{b^2-4ac}-b\right)\left(\sqrt{b^2+4ac}+b\right)}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)}=\\ =\lim_{a\to{0}}\frac{b^2-4ac-b^2}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)} =\lim_{a\to{0}}\frac{-2c}{\sqrt{b^2-4ac}+b}=\frac{-2c}{2b}=-\frac{c}{b}. [/dmath]
Если же [math]b\lt{0}[/math], то:
[dmath] \lim_{a\to{0}}x_1=\lim_{a\to{0}}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\lim_{a\to{0}}\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\lim_{a\to{0}}\frac{\left(|b|-\sqrt{b^2-4ac}\right)\left(|b|+\sqrt{b^2+4ac}\right)}{2a\left(|b|+\sqrt{b^2-4ac}\right)}=\\ =\lim_{a\to{0}}\frac{b^2-b^2+4ac}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)} =\lim_{a\to{0}}\frac{2c}{|b|+\sqrt{b^2-4ac}}=\frac{2c}{2|b|}=\frac{c}{|b|}=-\frac{c}{b}.\\ \lim_{a\to{0}}x_2=\lim_{a\to{0}}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\infty.\\ [/dmath]
Ответ
Один из корней стремится к бесконечности, второй стремится к [math]-\frac{c}{b}[/math].
