Задача №1982
Условие
Изучить поведение корней \(x_1\) и \(x_2\) квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\), у которого коэффициент \(a\) стремится к нулю, а коэффициенты \(b\) и \(c\) постоянны, причём \(b\neq{0}\).
Решение
Корни квадратного уравнения таковы:
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a};\;x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
\]
Пусть, для определённости, \(b\gt{0}\). Тогда:
\[
\lim_{a\to{0}}x_1=\lim_{a\to{0}}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\infty;\\
\lim_{a\to{0}}x_2=\lim_{a\to{0}}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
=\lim_{a\to{0}}\frac{\left(\sqrt{b^2-4ac}-b\right)\left(\sqrt{b^2+4ac}+b\right)}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)}=\\
=\lim_{a\to{0}}\frac{b^2-4ac-b^2}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)}
=\lim_{a\to{0}}\frac{-2c}{\sqrt{b^2-4ac}+b}=\frac{-2c}{2b}=-\frac{c}{b}.
\]
Если же \(b\lt{0}\), то:
\[
\lim_{a\to{0}}x_1=\lim_{a\to{0}}\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\lim_{a\to{0}}\frac{|b|-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
=\lim_{a\to{0}}\frac{\left(|b|-\sqrt{b^2-4ac}\right)\left(|b|+\sqrt{b^2+4ac}\right)}{2a\left(|b|+\sqrt{b^2-4ac}\right)}=\\
=\lim_{a\to{0}}\frac{b^2-b^2+4ac}{2a\left(\sqrt{b^2-4ac}+b\right)}
=\lim_{a\to{0}}\frac{2c}{|b|+\sqrt{b^2-4ac}}=\frac{2c}{2|b|}=\frac{c}{|b|}=-\frac{c}{b}.\\
\lim_{a\to{0}}x_2=\lim_{a\to{0}}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\infty.\\
\]
Ответ:
Один из корней стремится к бесконечности, второй стремится к \(-\frac{c}{b}\).