0467-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №467 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}[/math], [math]n\in{N}[/math].

Решение

Раскрываем скобки в числителе. Рассмотрим разность в общем виде, т.е. [math](a+b)^n-(a-b)^n[/math]:

[math] (a+b)^n-(a-b)^n= a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^2+C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+\ldots+b^n-\left(a^n-C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^2-C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+\ldots+(-1)^nb^n\right)=\\ =2C_{n}^{1}a^{n-1}b+2C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+2C_{n}^{5}a^{n-5}b^5+\ldots [/math]


Окончание полученного разложения зависит от чётности степени. Если степень [math]n[/math] чётная, то последним слагаемым в полученной сумме будет [math]2C_{n}^{n-1}ab^{n-1}=2nab^{n-1}[/math]. Если же [math]n[/math] – нечётная степень, то последним слагаемым будет [math]2C_{n}^{n}b^n=2b^n[/math]. В нашем случае [math]a=\sqrt{1+x^2}[/math], [math]b=x[/math], поэтому:

[math] \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n=\\ =2C_{n}^{1}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+2C_{n}^{3}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-3}}x^3+2C_{n}^{5}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-5}}x^5+\ldots =2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+o(x). [/math]


Вернёмся к исходному пределу:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+o(x)}{x}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}+\frac{o(x)}{x}\right)=2n+0=2n. [/math]

Ответ

[math]2n[/math]