Задача №1981
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}\), \(n\in{N}\).
Решение
Раскрываем скобки в числителе. Рассмотрим разность в общем виде, т.е. \((a+b)^n-(a-b)^n\):
\[
(a+b)^n-(a-b)^n=
a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^2+C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+\ldots+b^n-\left(a^n-C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^2-C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+\ldots+(-1)^nb^n\right)=\\
=2C_{n}^{1}a^{n-1}b+2C_{n}^{3}a^{n-3}b^3+2C_{n}^{5}a^{n-5}b^5+\ldots
\]
Окончание полученного разложения зависит от чётности степени. Если степень \(n\) чётная, то последним слагаемым в полученной сумме будет \(2C_{n}^{n-1}ab^{n-1}=2nab^{n-1}\). Если же \(n\) – нечётная степень, то последним слагаемым будет \(2C_{n}^{n}b^n=2b^n\). В нашем случае \(a=\sqrt{1+x^2}\), \(b=x\), поэтому:
\[
\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n=\\
=2C_{n}^{1}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+2C_{n}^{3}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-3}}x^3+2C_{n}^{5}\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-5}}x^5+\ldots
=2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+o(x).
\]
Вернёмся к исходному пределу:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}x+o(x)}{x}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(2n\sqrt{\left(1+x^2\right)^{n-1}}+\frac{o(x)}{x}\right)=2n+0=2n.
\]
Ответ:
\(2n\)