0466-5
Информация о задаче
Задача №466 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}[/math], где [math]n[/math] – натуральное число.
Решение
[dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}+\frac{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}\right)=\\ =\lim_{x\to+\infty}\left(\left(\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n+\left(\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n\right)=\\ =\lim_{x\to+\infty}\left(\left(\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}{x\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right)^n+\left(1+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\right)^n\right)=\\ =\lim_{x\to+\infty}\left(\left(\frac{1}{x\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right)^n+\left(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\right)^n\right) =0^n+2^n=2^n. [/dmath]
Ответ
[math]2^n[/math]
