0465-5
Информация о задаче
Задача №465 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdot\ldots\cdot(x+a_n)}-x\right)[/math].
Решение
Вынося [math]x[/math] за знак корня, приходим к необходимости замены переменной [math]x=\frac{1}{t}[/math], [math]t\to{0+0}[/math]:
[dmath] \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdot\ldots\cdot(x+a_n)}-x\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\left(\sqrt[n]{\left(1+a_1\cdot\frac{1}{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_n\cdot\frac{1}{x}\right)}-1\right)\right)=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1\cdot\frac{1}{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_n\cdot\frac{1}{x}\right)}-1}{\frac{1}{x}} =\left|\begin{aligned}&x=\frac{1}{t};\\&t\to{0+0}.\end{aligned}\right| =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1t\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_nt\right)}-1}{t} [/dmath]
После раскрытия скобок в подкоренном выражении получим некий многочлен [math]b_nt^n+\ldots+b_1t+1[/math]. Обозначив [math]P_n(t)=b_nt^n+\ldots+b_1t[/math], получим:
[dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1t\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_nt\right)}-1}{t} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{P_n(t)+1}-1}{t} [/dmath]
Предел такого вида уже был найден в 0454-5, нам останется лишь применить готовый результат:
[dmath] \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{P_n(t)+1}-1}{t}=\frac{b_1}{n}=\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}. [/dmath]
Ответ
[math] \frac{a_1+\ldots+a_n}{n} [/math]
