Задача №1979
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdot\ldots\cdot(x+a_n)}-x\right)\).
Решение
Вынося \(x\) за знак корня, приходим к необходимости замены переменной \(x=\frac{1}{t}\), \(t\to{0+0}\):
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdot\ldots\cdot(x+a_n)}-x\right)
=\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\left(\sqrt[n]{\left(1+a_1\cdot\frac{1}{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_n\cdot\frac{1}{x}\right)}-1\right)\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1\cdot\frac{1}{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_n\cdot\frac{1}{x}\right)}-1}{\frac{1}{x}}
=\left|\begin{aligned}&x=\frac{1}{t};\\&t\to{0+0}.\end{aligned}\right|
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1t\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_nt\right)}-1}{t}
\]
После раскрытия скобок в подкоренном выражении получим некий многочлен \(b_nt^n+\ldots+b_1t+1\). Обозначив \(P_n(t)=b_nt^n+\ldots+b_1t\), получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1t\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_nt\right)}-1}{t}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{P_n(t)+1}-1}{t}
\]
Предел такого вида уже был найден в 1968, нам останется лишь применить готовый результат:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{P_n(t)+1}-1}{t}=\frac{b_1}{n}=\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}.
\]
Ответ:
\(
\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}
\)