0464-5

Информация о задаче

Задача №464 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)=\\ =2\cdot\lim_{x\to+\infty}\left(x^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{\sqrt{x^2+2x}-(x+1)}{\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right) =2\cdot\lim_{x\to+\infty}\left(x^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{\left(\sqrt{x^2+2x}-(x+1)\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+(x+1)\right)}{\left(\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}\right)=\\ =-2\cdot\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\left(\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)} =-2\cdot\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+\frac{1}{x}\right)} =-2\cdot\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}. [/math]

Ответ

[math]-\frac{1}{4}[/math]