Задача №1978
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)\).
Решение
\[
\lim_{x\to+\infty}x^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)
=\lim_{x\to+\infty}\left(x^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)=\\
=2\cdot\lim_{x\to+\infty}\left(x^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{\sqrt{x^2+2x}-(x+1)}{\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\right)=\\
=2\cdot\lim_{x\to+\infty}\left(x^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{\left(\sqrt{x^2+2x}-(x+1)\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+(x+1)\right)}{\left(\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}\right)=\\
=-2\cdot\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\left(\sqrt{x+2}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}=\\
=-2\cdot\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+\frac{1}{x}\right)}
=-2\cdot\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}.
\]
Ответ:
\(-\frac{1}{4}\)