0463-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №463 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to\infty}x^{\frac{1}{3}}\left((x+1)^\frac{2}{3}-(x-1)^\frac{2}{3}\right)[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to\infty}x^{\frac{1}{3}}\left((x+1)^\frac{2}{3}-(x-1)^\frac{2}{3}\right)=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(x^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{\left((x+1)^\frac{2}{3}-(x-1)^\frac{2}{3}\right)\cdot\left((x+1)^\frac{4}{3}+(x+1)^\frac{2}{3}\cdot(x-1)^\frac{2}{3}+(x-1)^\frac{4}{3}\right)}{(x+1)^\frac{4}{3}+(x+1)^\frac{2}{3}\cdot(x-1)^\frac{2}{3}+(x-1)^\frac{4}{3}}\right)=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(x^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{(x+1)^\frac{4}{3}+(x+1)^\frac{2}{3}\cdot(x-1)^\frac{2}{3}+(x-1)^\frac{4}{3}}\right)=\\ =4\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{x^\frac{4}{3}}{(x+1)^\frac{4}{3}+\left(x^2-1\right)^\frac{2}{3}+(x-1)^\frac{4}{3}} =4\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^\frac{4}{3}+\left(1-\frac{1}{x^2}\right)^\frac{2}{3}+\left(1-\frac{1}{x}\right)^\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}. [/math]

Ответ

[math]\frac{4}{3}[/math]