Решение
Так как \(\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3+3x^2}=+\infty\) и \(\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2-2x}=+\infty\), то мы имеем дело с неопределённостью вида \(\infty-\infty\). Для начала, чтобы избавиться от квадратного корня, домножим и разделим на выражение \(\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\):
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=|\infty-\infty|=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}
\]
Теперь избавимся от кубического корня. Домножим и разделим на выражение \(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\).
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x^3+3x^2\right)^2-\left(x^2-2x\right)^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{12x^5-3x^4+8x^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{12x^5}{x^5}-\frac{3x^4}{x^5}+\frac{8x^3}{x^5}}{\frac{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}{x}\cdot\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2}{x^4}}=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{12-\frac{3}{x}+\frac{8}{x^2}}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}\right)
\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+\frac{3}{x}\right)^4}+\left(1-\frac{2}{x}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(1+\frac{3}{x}\right)^2}+\left(1-\frac{2}{x}\right)^2\right)}=\frac{12}{2\cdot{3}}=2.
\]
Впрочем, при решении данного примера можно пойти более простым путём, нежели домножение на сопряжённое, которое оказалось столь громоздким. Достаточно лишь разбить данный предел на два, а потом применить домножение в каждом из полученных пределов. Вычитая и прибавляя \(x\) будем иметь:
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\sqrt{x^2-2x}+x\right)=\\=
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)\right)
\]
Рассматривая пределы \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)\) и \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)\) убеждаемся, что они равны 1 и -1 соответственно (каждый предел вычисляется с помощью домножения на сопряжённое выражение).
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)\right)=\\=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)-\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)=1-(-1)=2.
\]