0462-5

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №462 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти [math]\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)[/math].

Решение

Так как [math]\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^3+3x^2}=+\infty[/math] и [math]\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2-2x}=+\infty[/math], то мы имеем дело с неопределённостью вида [math]\infty-\infty[/math]. Для начала, чтобы избавиться от квадратного корня, домножим и разделим на выражение [math]\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)[/math]:


[math] \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=|\infty-\infty|=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}} [/math]


Теперь избавимся от кубического корня. Домножим и разделим на выражение [math]\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2[/math].

[math] \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)}{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}-\left(x^2-2x\right)\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x^3+3x^2\right)^2-\left(x^2-2x\right)^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{12x^5-3x^4+8x^3}{\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2\right)}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{12x^5}{x^5}-\frac{3x^4}{x^5}+\frac{8x^3}{x^5}}{\frac{\sqrt[3]{x^3+3x^2}+\sqrt{x^2-2x}}{x}\cdot\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^4}+\left(x^2-2x\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^3+3x^2\right)^2}+\left(x^2-2x\right)^2}{x^4}}=\\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{12-\frac{3}{x}+\frac{8}{x^2}}{\left(\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}\right) \cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+\frac{3}{x}\right)^4}+\left(1-\frac{2}{x}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(1+\frac{3}{x}\right)^2}+\left(1-\frac{2}{x}\right)^2\right)}=\frac{12}{2\cdot{3}}=2. [/math]

Впрочем, при решении данного примера можно пойти более простым путём, нежели домножение на сопряжённое, которое оказалось столь громоздким. Достаточно лишь разбить данный предел на два, а потом применить домножение в каждом из полученных пределов. Вычитая и прибавляя [math]x[/math] будем иметь:

[math] \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\sqrt{x^2-2x}+x\right)=\\= \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)\right) [/math]


Рассматривая пределы [math]\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)[/math] и [math]\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)[/math] убеждаемся, что они равны 1 и -1 соответственно (каждый предел вычисляется с помощью домножения на сопряжённое выражение).

[math] \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x-\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)\right)=\\=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)-\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)=1-(-1)=2. [/math]

Ответ

2