Задача №1974
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{+\infty}}x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right)\).
Решение
\[
\lim_{x\to{+\infty}}x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right)=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right)\left(\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x}=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{2x^2\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}-x-1\right)}{\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{2x^2\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}-(x+1)\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}{\left(\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{-2x^2}{\left(\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+2x}+x+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{-2}{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\cdot\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+\frac{1}{x}\right)}
=\frac{-2}{4\cdot{2}}=-\frac{1}{4}.
\]
Ответ:
\(-\frac{1}{4}\)