Задача №1973
Условие
Найти предел \(\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\).
Решение
\[
\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)=|\infty-\infty|=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}=\\
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}
=\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\frac{1}{2}\)