0458-5

Информация о задаче

Задача №458 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)[/math].

Решение

[math] \lim_{x\to{+\infty}}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)=|\infty-\infty|=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}=\\ =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}} =\lim_{x\to{+\infty}}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x\sqrt{x}}}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{2}[/math]